Question

【题目】图1是一段圆柱体的树干的示意图，已知树干的半径r=10cm，AD=45cm. （π值取3）

（1）若螳螂在点A处，蝉在点C处，图1中画出了螳螂捕蝉的两条路线，即A→D→C和A→C，图2是该圆柱体的侧面展开图，判断哪条路的距离较短，并说明理由；

（2）若螳螂在点A处，蝉在点D处，螳螂想要捕到这只蝉，但又怕蝉发现，于是螳螂绕到

后方去捕捉它，如图3所示，求螳螂爬行的最短距离；（提示： =75）

（3）图4是该圆柱体的侧面展开图，蝉N在半径为10cm的⊙O的圆上运动，⊙O与BC相切，点O到CD的距离为20cm，螳螂M在线段AD运动上，连接MN，MN即为螳螂捕蝉时螳螂爬行的距离，若要使MN与⊙O总是相切，求MN的长度范围.

图1 图2 图3 图4

Answer 1

【答案】（1）A→C的距离较短；（2）螳螂爬行的最短距离为75cm；

（3）10cm≤MN≤5cm.

【解析】分析：（1）根据两点之间线段最短，可判断出A→C的距离较短；（2）由题意得出AD′的距离最短，再利用勾股定理即可求解；（3）连接MO，ON，当MO⊥AD时，MO最短，∴MN的长度最短，当点M与点A重合时，MO最长，从而得出MN的长度范围.

本题解析：（1）由三角形三边关系可知，AD+DC＞AC, A→C的距离较短（2）如图，AD′即为螳螂爬行的最短距离，AA′=60cm，A′D′=45cm，∴AD′= =75cm

（3）连接MO，ON，易得MN2+NO2=MO2. 当MO⊥AD时，MO最短，∴MN的长度最短，此时MO=30-10=20cm，∴MN=10cm. 当点M与点A重合时，MO最长，∴MN的长度最长. 过点O作OF⊥AB于点F. 易得MF=20cm，OF=25cm，∴MO=5cm，，∴MN=5cm