Question

【题目】如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．
（1）若 = ，AE=2，求EC的长；
（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠ACB=90°，DE⊥AC，

∴DE∥BC，

∴ ，

∵ ，AE=2，

∴EC=6

（2）解：①如图1，

若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线．

证明：∵∠CFG+∠CGF=90°，∠ECD+∠PCG=90°，

又∵∠CFG=∠ECD，

∴∠CGF=∠PCG，

∴CP=PG，

∵∠CFG=∠ECD，

∴CP=FP，

∴PF=PG=CP，

∴线段CP是△CFG的FG边上的中线；

②如图2，

若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线．

证明：∵DE⊥AC，

∴∠EDC+∠ECD=90°，

∵∠CFG=∠EDC，

∴∠CFG+∠ECD=90°，

∴∠CPF=90°，

∴线段CP为△CFG的FG边上的高线．

③如图3，

当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．

【解析】（1）易证DE∥BC，由平行线分线段成比例定理列比例式即可求解；（2）分三种情况讨论：①若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线；②若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线；③当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．
【考点精析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．