Question

【题目】如图1,有一块三角形余料ABC，它的边BC=60mm，高AD=40mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？请你计算。

变式（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图2，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．

变式（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图3，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．

Answer 1

【答案】（1）这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm；

（2）S有最大值时，PN=30mm，PQ=20mm.

【解析】试题分析：（1）设正方形的边长为xmm，则PN=PQ=ED=x，AE=AD-ED=80-x，通过证明△APN∽△ABC，利用相似比可得到，然后根据比例性质求出x即可；

（2）由于矩形是由两个并排放置的正方形所组成，则可设PQ=x，则PN=2x，AE=40-x，然后与（1）的方法一样求解；（3）设PN=x，用PQ表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答．

试题解析：（1）如图1，设正方形的边长为xmm，则PN=PQ=ED=x，∴AE=ADED=40x，∵PN∥BC，

∴△APN∽△ABC，

∴,即，

解得x=24.

∴加工成的正方形零件的边长是24mm；

(2)如图2，设PQ=x，则PN=2x，AE=40x，

∵PN∥BC，

∴△APN∽△ABC，

∴,即，

解得：x=，

∴2x=,

∴这个矩形零件的两条边长分别为mm, mm；

(3)如图3,设PN=x(mm),矩形PQMN的面积为S(mm2)，

由条件可得△APN∽△ABC，

∴,即，

解得：PQ= .

则S=PNPQ=x()=x2+40x= (x30)2+600，

故S的最大值为600mm2,此时PN=30mm,PQ=40×30=20(mm).