Question

【题目】在△ABC中，AB=AC，D为射线BA上一点，连接DC，且DC=BC．

（1）如图1，若DC⊥AC，AB= ，求CD的长；
（2）如图2，若E为AC上一点，且CE=AD；连接BE，BE=2CE，连接DE并延长交BC于F．求证：DF=3EF．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB=AC，BC=DC

∴∠B=∠ACB，∠B=∠D，

∴∠ACB=∠D=∠B 又∵DC⊥AC，

∴∠ACD=90°

∴∠B+∠ACB+∠D=90°∴∠B=∠ACD=∠D=30°

∵AB= ，

∴AC= ，

∴CD= AC= ．

（2）解：证明：∵AB=AC，BC=DC

∴∠ABC=∠ACB，∠ABC=∠CDA

∴∠BCE=∠CDA 又∵BC=DC，CE=DA，

∴△BCE≌△DCA，

∴CE=AD，BE=AC

又∵BE=2CE，

∴AE=CE，AD=AE，过A作AH⊥DF于H，则∠DAH=∠HAE，DH=EH，

又∵∠DAC=∠ABC+∠ACB=2∠ACB，

∴∠HAE=∠ACB，

又∵∠AEH=∠CEF，AE=CE，

∴△AEH≌△CEF，

∴EH=EF，

∴DH=EH=EF，即DF=3EF

【解析】（1）由AB=AC，BC=DC，可得∠B=∠ACB，∠B=∠D，又DC⊥AC，可得∠B=∠ACD=∠D=30°，再由30度角的正切可得CD= AC= 6;（2）由已知易证△BCE≌△DCA，可得AE=CE，再由AD=AE，AH⊥DF，可得，DH=EH，进而须证HE=EF，因此证出EH=EF即可.