Question

【题目】证明题
（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2-4q≥0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2=-p ， x1 x2=q ．
（2）已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（-1，-1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：

∵a=1，b=p，c=q

∴△=p2-4q

∴x=

即x1= ，x2=

∴x1+x2= + =-p，

x1x2= =q

（2）

解：把（-1，-1）代入得p-q=2，q=p-2

设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）

∵d=|x1-x2|，∴d2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=p2-4q=p2-4p+8=（p-2）2+4

当p=2时，d2的最小值是4．

【解析】（1）先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可；（2）把点（-1，-1）代入抛物线的解析式，再由d=|x1-x2|可知d2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4 x1x2=p2 ， 再由（1）中 x1+x2=-p ， x1x2=q即可得出结论．
【考点精析】掌握根与系数的关系和抛物线与坐标轴的交点是解答本题的根本，需要知道一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商；一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．