Question

【题目】如图，在△ABC中，点E，F在BC上，EM垂直平分AB交AB于点M，FN垂直平分AC交AC于点N，∠EAF=90°，BC=12，EF=5．

（1）求∠BAC的度数；
（2）求S△EAF ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵EM垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠B=∠BAE．
∵FN垂直平分AC，
∴AF=EC
∴∠C=∠CAF．
∵∠B+∠BAE+∠EAF+∠C+∠CAF=180°，∠EAF=90°，
∴2∠BAE+2∠CAF=90°，
∴∠BAE+∠CAF=45°，
∴∠BAC=∠BEA+∠EAF+∠CAF=45°+90°=135°

（2）解：∵EM垂直平分AB，
∴EB=EA．
∵FN垂直平分AC，
∴FA=FC．
∵BC=12，EF=5，
∴EA+FA=12﹣5=7．
∵EF=5，∠EAF=90°，
∴EA2+FA2=（EA+FA）2﹣2EAFA=EF2=25，
∴ EAFA=6，
∴S△EAF=6
【解析】（1）根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得出AE=BE、AF=EC，证出∠B=∠BAE．∠C=∠CAF，再在△ABC中，利用三角形内角和定理及∠EAF=90°，证出∠BAE+∠CAF=45°，从而可求出∠BAC的度数。
（2）根据AB、EF的长求出BE+FC的长，即可得到EA+FA=7，再根据勾股定理得出EA2+FA2=EF2=25，两式结合求出EAFA的值，再利用三角形的面积公式求出△EAF的面积即可。