Question

【题目】如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图所示，连接BO，

∵∠ACB=30°，

∴∠OBC=∠OCB=30°，

∵DE⊥AC，CB=BD，

∴Rt△DCE中，BE= CD=BC，

∴∠BEC=∠BCE=30°，

∴△BCE中，∠EBC=180°﹣∠BEC﹣∠BCE=120°，

∴∠EBO=∠EBC﹣∠OBC=120°﹣30°=90°，

∴BE是⊙O的切线；

（2）解：当BE=3时，BC=3，

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ABC=90°，

又∵∠ACB=30°，

∴AB=tan30°×BC= ，

∴AC=2AB=2 ，AO= ，

∴阴影部分的面积=半圆的面积﹣Rt△ABC的面积= π×AO2﹣ AB×BC= π×3﹣ × ×3= ﹣

【解析】（1）连接BO，根据△OBC和△BCE都是等腰三角形，即可得到∠BEC=∠OBC=∠OCB=30°，再根据三角形内角和即可得到∠EBO=90°，进而得出BE是⊙O的切线；（2）在Rt△ABC中，根据∠ACB=30°，BC=3，即可得到半圆的面积以及Rt△ABC的面积，进而得到阴影部分的面积．
【考点精析】关于本题考查的扇形面积计算公式，需要了解在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）才能得出正确答案．