Question

【题目】如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC．

（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结OA、OD，如图，

∵D为BE的下半圆弧的中点，

∴OD⊥BE，

∴∠D+∠DFO=90°，

∵AC=FC，

∴∠CAF=∠CFA，

∵∠CFA=∠DFO，

∴∠CAF=∠DFO，

而OA=OD，

∴∠OAD=∠ODF，

∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，

∴OA⊥AC，

∴AC是⊙O的切线

（2）解：∵圆的半径R=5，EF=3，

∴OF=2，

在Rt△ODF中，∵OD=5，OF=2，

∴DF= = ．

【解析】（1）根据弧的性质，D为BE的下半圆弧的中点，得到OD⊥BE，∠D+∠DFO=90°，又AC=FC，得到∠CAF=∠CFA，因为∠CFA=∠DFO，得到∠CAF=∠DFO，而OA=OD，得到∠OAD=∠ODF，∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，所以OA⊥AC，由切线的判定方法得到AC是⊙O的切线；（2）由圆的半径R=5，得到OF=2，在Rt△ODF中，由勾股定理求出DF的长．
【考点精析】认真审题，首先需要了解切线的判定定理(切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线)．