Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据题意设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣4），

代入C（0，3）得3=4a，

解得a= ，

y= （x﹣1）（x﹣4）= x2﹣ x+3，

所以，抛物线的解析式为y= x2﹣ x+3

（2）解：∵A、B关于对称轴对称，如图1，连接BC，

∴BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC，

∴四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC，

∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），

∴OA=1，OC=3，BC= =5，

∴OC+OA+BC=1+3+5=9；

∴在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9．

（3）解：∵B（4，0）、C（0，3），

∴直线BC的解析式为y=﹣ x+3，

①当∠BQM=90°时，如图2，设M（a，b），

∵∠CMQ＞90°，

∴只能CM=MQ=b，

∵MQ∥y轴，

∴△MQB∽△COB，

∴ = ，即 = ，解得b= ，代入y=﹣ x+3得， =﹣ a+3，解得a= ，

∴M（ ， ）；

②当∠QMB=90°时，如图3，

∵∠CMQ=90°，

∴只能CM=MQ，

设CM=MQ=m，

∴BM=5﹣m，

∵∠BMQ=∠COB=90°，∠MBQ=∠OBC，

∴△BMQ∽△BOC，

∴ = ，解得m= ，

作MN∥OB，

∴ = = ，即 = = ，

∴MN= ，CN= ，

∴ON=OC﹣CN=3﹣ = ，

∴M（ ， ），

综上，在线段BC上存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形，点M的坐标为（ ， ）或（ ， ）．

【解析】（1）由抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点，用待定系数法求出解析式；（2）由A、B关于对称轴对称，得到BC与对称轴的交点即为所求的点P，由A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），得到OA=1，OC=3，BC =5，OC+OA+BC=1+3+5=9；所以在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9；（3）由B（4，0）、C（0，3），所以直线BC的解析式为y=﹣ x+3，①当∠BQM=90°时，设M（a，b），由∠CMQ＞90°，得到只能CM=MQ=b，因为MQ∥y轴，所以△MQB∽△COB，得到 比例，求出M的坐标；②当∠QMB=90°时，由∠CMQ=90°，得到只能CM=MQ，得到△BMQ∽△BOC，得到比例，解得m= ，由MN∥OB，得到比例，求出M（ ， ），在线段BC上存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形，点M的坐标为（ ， ）或（ ， ）．