Question

【题目】如图，在ABCD中，∠ADB=90°，点E为AB边的中点，点F为CD边的中点．
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）若∠A=45°，求证：四边形DEBF是正方形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC∥AB，DC=AB，

∵点E为AB边的中点，点F为CD边的中点，

∴DF∥BE，DF=BE，

∴四边形DEBF是平行四边形，

∵∠ADB=90°，点E为AB边的中点，

∴DE=BE=AE，

∴四边形DEBF是菱形；

（2）解：∵∠ADB=90°，∠A=45°，

∴∠A=∠ABD=45°，

∴AD=BD，

∵E为AB的中点，

∴DE⊥AB，

即∠DEB=90°，

∵四边形DEBF是菱形，

∴四边形DEBF是正方形．

【解析】（1）根据平行四边形的性质得出DC∥AB，DC=AB，求出DF∥BE，DF=BE，得出四边形DEBF是平行四边形，求出DE=BE，根据菱形的判定得出即可；（2）求出AD=BD，根据等腰三角形的性质得出DE⊥AB，根据正方形的判定得出即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直角三角形斜边上的中线和平行四边形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．