Question

【题目】如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°．
（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若⊙O的半径为3，sin∠ADE= ，求AE的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：CD与圆O相切．

证明：连接OD，则∠AOD=2∠AED=2×45°=90°．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC．

∴∠CDO=∠AOD=90°．

∴OD⊥CD．

∴CD与圆O相切

（2）解：连接BE，则∠ADE=∠ABE．

∴sin∠ADE=sin∠ABE= ．

∵AB是圆O的直径，

∴∠AEB=90°，AB=2×3=6．

在Rt△ABE中，sin∠ABE= = ．

∴AE=5．

【解析】（1）连接OD，则∠AOD=为直角，由四边形ABCD是平行四边形，则AB∥DC．从而得出∠CDO=90°，即可证出答案．（2）连接BE，则∠ADE=∠ABE根据题意得sin∠ABE= ．由AB是圆O的直径求出AB的长．再在Rt△ABE中，求得AE即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行四边形的性质的相关知识，掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分，以及对圆周角定理的理解，了解顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．