Question

【题目】在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D；
（1）如果点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如图1，求∠EFD的度数；
（2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，问∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系是否会发生变化？请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）∵∠C=50°，∠B=30°，
∴∠BAC=180°﹣50°﹣30°=100°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=50°．
在△ACE中∠AEC=80°，
在Rt△ADE中∠EFD=90°﹣80°=10°．
（2）∠EFD=（∠C﹣∠B）
证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE==90°﹣（∠C+∠B）
∵∠AEC为△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+90°﹣（∠C+∠B）=90°+（∠B﹣∠C）
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°．
∴∠EFD=90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C）
∴∠EFD=（∠C﹣∠B）
（3）∠EFD=（∠C﹣∠B）．
如图，

∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=．
∵∠DEF为△ABE的外角，
∴∠DEF=∠B+=90°+（∠B﹣∠C），
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°．
∴∠EFD=90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C）
∴∠EFD=（∠C﹣∠B）．
【解析】（1）由三角形内角和定理可得∠BAC=100°，∠CAD=40°，由角平分线的性质易得∠EAC的度数，可得∠EFD；
（2）由角平分线的性质和三角形的内角和得出∠BAE=90°﹣（∠C+∠B），外角的性质得出∠AEC=90°+（∠B﹣∠C），在△EFD中，由三角形内角和定理可得∠EFD；
（3）与（2）的方法相同．