Question

【题目】如图1，△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB于点E，以O为圆心，OD为半径作⊙O．

（1）求证：⊙O与CB相切于点E；
（2）如图2，若⊙O 过点H，且AC=5，AB=6，连结EH，求△BHE的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵CA=CB，点O在高CH上，

∴∠ACH=∠BCH，

∵OD⊥CA，OE⊥CB，

∴OE=OD，

∴圆O与CB相切于点E

（2）解：∵CA=CB，CH是高，

∴AH=BH= AB=3，

∴CH= =4，

∵点O在高CH上，圆O过点H，

∴圆O与AB相切于H点，

由（1）得圆O与CB相切于点E，

∴BE=BH=3，

如图，过E作EF⊥AB，则EF∥CH，

∴△BEF∽△BCH，

∴ = ，即 = ，

解得：EF= ，

∴S△BHE= BHEF= ×3× =

【解析】（1）由CA=CB，且CH垂直于AB，利用三线合一得到CH为角平分线，再由OD垂直于AC，OE垂直于CB，利用角平分线定理得到OE=OD，利用切线的判定方法即可得证；（2）由CA=CB，CH为高，利用三线合一得到AH=BH，在直角三角形ACH中，利用勾股定理求出CH的长，由圆O过H，CH垂直于AB，得到圆O与AB相切，由（1）得到圆O与CB相切，利用切线长定理得到BE=BH，如图所示，过E作EF垂直于AB，得到EF与CH平行，得出△BEF与△BCH相似，由相似得比例，求出EF的长，由BH与EF的长，利用三角形面积公式即可求出△BEH的面积．
【考点精析】掌握三角形的内切圆与内心是解答本题的根本，需要知道三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心．