Question

【题目】如图1，已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D

（1）求出点A，B，D的坐标；

（2）如图1，若线段OB在x轴上移动，且点O，B移动后的对应点为O′，B′．首尾顺次连接点O′、B′、D、C构成四边形O′B′DC，请求出四边形O′B′DC的周长最小值．

（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接CM、MN．当△CMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点N的坐标．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣2，0），B（4，0），D（1，﹣）；（2）4++；（3）N的坐标为（0，）、（0，）、（0，﹣）或（0，﹣）．

【解析】

试题分析：（1）令抛物线解析式中y=0，解关于x的一元二次方程即可求出点A、B的坐标，再利用配方法将抛物线解析式进行配方即可得出顶点D的坐标；（2）作点C（0，﹣3）关于x轴的对称点C′（0，3），将点C′（0，3）向右平移4个单位得到点C″（4，3），连接DC″，交x轴于点B′，将点B′向左平移4个单位得到点O′，连接CO′，CO″，则四边形O′B′C′C″为平行四边形，此时四边形O′B′DC周长取最小值．再根据两点间的距离公式求出CD、DC″的长度，即可得出结论；（3）按点M的位置不同分两种情况考虑：①点M在直线y=x﹣3上，联立直线与抛物线解析式求出点M的坐标，结合点C的坐标以及等腰直角三角形的性质即可得出点N的坐标；②点M在直线y=﹣x﹣3上，联立直线与抛物线解析式求出点M的坐标，结合点C的坐标以及等腰直角三角形的性质即可得出点N的坐标．综合两种情况即可得出结论．

试题解析：（1）令y=x2﹣x﹣3中y=0，则x2﹣x﹣3=0，解得：x1=﹣2，x2=4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵y=x2﹣x﹣3=（x2﹣2x）﹣3=（x﹣1）2﹣，∴D（1，﹣）．（2）令y=x2﹣x﹣3中x=0，则y=﹣3，∴C（0，﹣3）．D（1，﹣），O′B′=OB=4．如图1，

作点C（0，﹣3）关于x轴的对称点C′（0，3），将点C′（0，3）向右平移4个单位得到点C″（4，3），连接DC″，交x轴于点B′，将点B′向左平移4个单位得到点O′，连接CO′，C′O′，则四边形O′B′C′C″为平行四边形，此时四边形O′B′DC周长取最小值．此时C四边形O′B′DC=CD+O′B′+CO′+DB′=CD+O′B′+DC″．∵O′B′=4，CD==，C″D==，∴四边形O′B′DC的周长最小值为4++．（3）△CMN是以MN为直角边的等腰直角三角形分两种情况（如图2）：

，①过点C作直线y=x﹣3交抛物线于点M，联立直线CM和抛物线的解析式得：，解得：或（舍去），∴M（，）．∵△CMN为等腰直角三角形，C（0，﹣3），∴点N的坐标为（0，）或（0，）；②过点C作直线y=﹣x﹣3交抛物线于点M，联立直线CM和抛物线的解析式得：，解得：或（舍去），∴M（﹣，﹣）．∵△CMN为等腰直角三角形，C（0，﹣3），∴点N的坐标为（0，﹣）或（0，﹣）．综上可知：当△CMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，点N的坐标为（0，）、（0，）、（0，﹣）或（0，﹣）．