Question

【题目】已知，△ADB内接于⊙O，DG⊥AB于点G，交⊙O于点C，点E是⊙O上一点，连接AE分别交CD、BD于点H、F．

（1）如图1，当AE经过圆心O时，求证：∠AHG=∠ADB；

（2）如图2，当AE不经过点O时，连接BC、BH，若∠GBC=∠HBG时，求证：HF=EF；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接DE，若AB=8，DH=6，求sin∠DAE的值．

Answer 1

【答案】见解析．

【解析】

试题分析：（1）如图1中，连接BE，由DG∥BE，推出∠AEB=∠AHG，由∠ADB=∠AEB，即可推出∠ADB=∠AHG．

（2）连接AC、DE，EB、AC、BC．只要证明HG=CG，∠EDB=∠CDB，根据等腰三角形三线合一即可证明．

（3）过点O作ON⊥DE，OM⊥AB垂足分别为N、M，连接OD、OE、OA、OB．只要证明△NOE≌△MBO，推出NE=OM=3，OB==5，在RT△OMB中，根据sin∠OBM=，计算即可．

试题解析：证明：（1）如图1中，连接BE，

∵AE是⊙O的直径∴∠ABE=90°，

∵DG⊥AB，

∴∠ABE=∠AGD=90°，

∴DG∥BE，

∴∠AEB=∠AHG，

∵∠ADB=∠AEB

∴∠ADB=∠AHG．

（2）连接AC、DE，EB、AC、BC．

∠GBC=∠HBG，DG⊥AB

∴∠GHB=∠BCH，BH=BC，

∴HG=CG，

∴AH=AC，∠AHC=∠HCA，∠BAC=∠HAG

∵∠AED=∠ACH，∠DHE=∠AHC，

∴∠AED=∠DHE，

∴DH=DE，

∵∠EDB=∠EAB，∠CDB=∠BAC，

∴∠EDB=∠CDB，

∴HF=EF．

（3）过点O作ON⊥DE，OM⊥AB垂足分别为N、M，连接OD、OE、OA、OB．

∴BM=AB=4，

∵DH=DE=6，HF=EF，

∴DF⊥AE，

∴∠DAE+∠BDA=90°，

∵∠E O D=2∠DAE∠AO B=2∠ADB，

∴∠BOA+∠EOD=180°，

∵∠DOE=2∠NOE∠AOB=2∠BOM，

∴∠NOE+∠BOM=90°∠NOE+∠NEO=90°，

∵∠NEO=∠BOM，OE=OB，

∴△NOE≌△MBO

∴NE=OM=3，

∴OB==5，

∵∠ADB=∠BOM，

∴∠DAF=∠OBM，

在RT△OMB中sin∠OBM==

∴sin∠DAE=．