Question

【题目】如图1，在边长为5的菱形ABCD中，cos∠BAD= ，点E是射线AB上的点，作EF⊥AB，交AC于点F．
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）求证：AE=2EF；
（3）如图2，过点F，E，B作⊙O，连结DF，若⊙O与△CDF的边所在直线相切，求所有满足条件的AE的长度．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1中，作DH⊥AB于H．

在Rt△ADH中，∵∠AHD=90°，AD=5，cos∠DAH= ，

∴AH=3，DH= =4，

∴S菱形ABCD=ABDH=5×4=20．

（2）解：证明：如图1中，BD与AC交于点G．

在Rt△DHB中，∵DH=4，BH=2，

∴BD= = =2 ，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，BG=DG= ，AG= = =2 ，

∵∠EAF=∠BAG，∠AEF=∠AGB=90°，

∴△AEF∽△AGB，

∴ = = =2，

∴AE=2EF．

（3）解：①如图2中，当⊙O与直线DF相切时，易知，∠BFD=90°，DF=BF．

∵BD=2 ，

∴BF= ，设EF=x，则AE=2EF=2x，

在Rt△BEF中，∵BF2=EF2+BE2，

∴10=x2+（5﹣2x）2，

解得x=1或3，

∴AE=2或6时，⊙O与直线DF相切．

②如图3中，当⊙O与AC相切时，易知点F与G重合，设EF=x，AE=2x，

在Rt△AFE中，∵AG2=AE2+GE2，

∴20=4x2+x2，

∴x2=4，

∴x=2，

∴AE=4时，⊙O与直线CF相切．

③如图4中，当⊙O与CD相切于点M，延长MO交AE与H，设EF=x，则AE=2x，则OH= EF= x，BF= ，

∵HM=4，

∴OM+OH=4，

∴ + x=4，

整理得，4x2﹣4x﹣39=0，

解得x= 或 （舍弃），

∴AE=1+2 ，

综上所述，满足条件的AE的值为2或4或6或1+2 ．

【解析】（1）如图1中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，由∠AHD=90°，AD=5，cos∠DAH= ，推出AH=3，DH= =4，即可解决问题；（2）如图1中，BD与AC交于点G．在Rt△DHB中，可得BD= = =2 ，由四边形ABCD是菱形，推出AC⊥BD，BG=DG= ，AG= = =2 ，由△AEF∽△AGB，推出 = = =2，即可解决问题；（3）分三种情形分别求解：①如图2中，当⊙O与直线DF相切时．②如图3中，当⊙O与AC相切时．③如图4中，当⊙O与CD相切于点M．分别求解即可；