Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH．

（1）求证：MH为⊙O的切线．

（2）若MH=，tan∠ABC=，求⊙O的半径．

（3）在（2）的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于N点，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2；（3）.

【解析】

试题分析：（1）连接OH、OM，则OH为△ABC的中位线，进而可证明△COH≌△MOH，∴∠HCO=∠HMO=90°，从而可知MH是⊙O的切线；（2）由（1）可知MH=HC，H为AC中点，∠CMH=90°，可得AC=3，再利用三角函数可求得BC=4，故半径为2；（3）连接CN，AO，CN与AO相交于I，则AC=AN，又因为OC=ON，可知AO⊥CN， 利用面积可求得CI的长度，设CE为x，然后利用勾股定理可求得CE的长度，利用垂径定理即可求得NQ．

试题解析： （1）连接OH、OM，∵H是AC的中点，O是BC的中点，∴OH∥AB，∴∠COH=∠ABC，∠MOH=∠OMB，又∵OB=OM，∴∠OMB=∠MBO，∴∠COH=∠MOH，又∵OH=OH，∴△COH≌△MOH（SAS），∴∠HCO=∠HMO=90°，

∴MH是⊙O的切线；

（2）∵MH、AC是⊙O的切线，∴HC=MH=，∴AC=2HC=3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∵，∴，∴BC=4，∴⊙O的半径为2；（3）连接OA、CN、ON，OA与CN相交于点I，∵AC与AN都是⊙O的切线，∴AC=AN，AO平分∠CAD，∴AO⊥CN，∵AC=3，OC=2，∴，∵S△ACO=AC·OC=AO·CI，∴CI=，∴CN=2CI=.设OE=x，由勾股定理可得：CN2﹣CE2=ON2﹣OE2，∴ ，∴，∴，在Rt△CEN中，，∴NQ=2EN=．