Question

【题目】如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；

（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．

①写出点M′的坐标；

②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）S=-m2+m，最大值为；（3）①（，），②45°.

【解析】

试题分析：（1）先求出B点坐标，再把B点坐标代入即可求二次函数解析式；（2）根据M的位置可确定0＜m＜3，过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D，可设M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），用含m的式子表示DM，然后求出S与m的函数关系式，最大值也可求出.（3）①把m=代入二次函数解析式，可求出M′的坐标，②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，则BF=d1+d2，当BF最大时可求出旋转角.

试题解析： （1）令x=0代入y=﹣3x+3，∴y=3，∴B（0，3），把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，∴3=a+4，

∴a=﹣1，∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）当y=0时，0=﹣x2+2x+3，∴x=﹣1或3，∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，∴0＜m＜3，过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D，由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），∴D的纵坐标为：﹣m2+2m+3，∴把y=﹣m2+2m+3代入y=﹣3x+3，∴x=，∴D的坐标为（，﹣m2+2m+3），∴DM=m﹣=，∴S=DMOB=××3=-m2+m=-（m-）2+，S最大值为；（3）①由（2）可知：M′的坐标为（，）；②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F根据题意知：d1+d2=BF，∵∠BFM′=90°，∴点F在以BM′为直径的圆上，设直线AM′与该圆相交于点H，∵点C在线段BM′上，∴F在优弧BM′H上，∴当F与M′重合时，BF可取得最大值，此时BM′⊥l1，∵A（1，0），B（0，3），M′（，），∴由勾股定理可求得：AB=，M′B=，M′A=，过点M′作M′G⊥AB于点G，设BG=x，∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2，∴ ﹣（﹣x）2=﹣x2，∴x=，

cos∠M′BG= ，∵l1∥l′，∴∠BCA=90°，∠BAC=45°.