Question

【题目】如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上的一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE＝30°；②CE2＝AB CF；③CF＝ FD； ④△ABE∽△AEF.其中正确的有（ ）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】C
【解析】因为正方形ABCD中，E是BC的中点，所以tan∠BAE= ，所以∠BAE≠30°，故①错误；因为∠BAE+∠BEA=90°，∠BEA+∠CEF=90°；所以∠BAE=∠CEF，又因为∠B=∠C=90°，所以△ABE∽△ECF则AB：BE=EC：CF，因为BE=CE，所以AB：CE=EC：CF，即CE2=AB CF，所以②正确；

设CF=a，则BE=CE=2a，AB=CD=AD=4a，DF=3a，∴AE=2 a，EF= a，AF=5a，∴ ， ，∴ ，∴△ABE∽△AEF，故④正确．∴CF= EC= CD，∴CF＝ FD；故③正确；所以答案是：C.

【考点精析】利用相似三角形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．