Question

【题目】如图，在等边△ABC中，M为BC边上的中点，D是射线AM上的一个动点，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE．

（1）填空：若D与M重合时（如图1）∠CBE=度；
（2）如图2，当点D在线段AM上时（点D不与A、M重合），请判断（1）中结论是否成立？并说明理由；
（3）在（1）的条件下，若AB=6，试求CE的长．

Answer 1

【答案】
（1）30
（2）解：（1）中结论成立．理由如下：

如图2．

∵△ABC和△CDE均为等边三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE=60°，

∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD与△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE，

∴∠CAD=∠CBE，

∵在等边△ABC中，M是BC中点．

∴∠CAD= ∠BAC=30°，

∴∠CBE=30°

（3）解：如图1．

∵在等边△ABC中，AB=6，

∴BC=AB=6．

∵在等边△ABC中，M为BC边上的中点，D与M重合，

∴CD=BD= BC=3，

∵△CDE是等边三角形，

∴CE=CD=3．

【解析】解：（1）如图1．
∵在等边△ABC中，M为BC边上的中点，D与M重合，
∴BD=CD，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠CDE=60°，CD=DE，
∴BD=DE，
∴∠BED=∠DBE，
又∵∠BED+∠DBE=∠CDE=60°，
∴∠DBE=30°，即∠CBE=30°；
所以答案是30；

【考点精析】本题主要考查了等边三角形的性质的相关知识点，需要掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°才能正确解答此题．