Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA=2，OC=6，在OC上取点D将△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，将一个足够大的直角三角板的顶点P从D点出发沿线段DA→AB移动，且一直角边始终经过点D，另一直角边所在直线与直线DE，BC分别交于点M，N．

（1）填空：经过A，B，D三点的抛物线的解析式是；
（2）已知点F在（1）中的抛物线的对称轴上，求点F到点B，D的距离之差的最大值；
（3）如图1，当点P在线段DA上移动时，是否存在这样的点M，使△CMN为等腰三角形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如图2，当点P在线段AB上移动时，设P点坐标为（x，﹣2），记△DBN的面积为S，请直接写出S与x之间的函数关系式，并求出S随x增大而增大时所对应的自变量x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）y=﹣ x2﹣ x﹣2
（2）

解：∵点A，B关于抛物线的对称轴对称，

∴FA=FB，

∴|FB﹣FD|=|FA﹣FD|，

∵|FA﹣FD|≤AD=2 ，

∴点F到点B，D的距离之差的最大值是2 ；

（3）

解：存在点M使△CMN为等腰三角形，理由如下：

由翻折可知四边形AODE为正方形，过M作MH⊥BC于H，

∵∠PDM=∠PMD=45°，则∠NMH=∠MNH=45°，NH=MH=4，MN=4 ，

∵直线OE的解析式为：y=x，依题意得MN∥OE，∴设MN的解析式为y=x+b，

而DE的解析式为x=﹣2，BC的解析式为x=﹣6，

∴M（﹣2，﹣2+b），N（﹣6，﹣6+b），CM2=42+（﹣2+b）2，CN2=（﹣6+b）2，MN2=（4 ）2=32，

①当CM=CN时，42+（﹣2+b）2=（﹣6+b）2，解得：b=2，此时M（﹣2，0）；

②当CM=MN时，42+（﹣2+b）2=32，解得：b1=﹣2，b2=6（不合题意舍去），此时M（﹣2，﹣4）；

③当CN=MN时，6﹣b=4 ，解得：b=﹣4 +6，此时M（﹣2，4﹣4 ）；

综上所述，使△CMN为等腰三角形的M点的坐标为：（﹣2，0），（﹣2，﹣4），（﹣2，4﹣4 ）；

（4）

解：当﹣2≤x≤0时，∵∠BPN+∠DPE=90°，∠BPN+∠BNP=90°，

∴∠DPE=∠BNP，又∠PED=∠NBP=90°，

∴△DEP∽△PBN，

∴ = ，

∴ = ，

∴BN= ，

∴S△DBN= BN×BE= × ×4，整理得：S=x2+8x+12；

当﹣6≤x＜﹣2时，

∵△PBN∽△DEP，

∴ = ，

∴ = ，

∴BN= ，

∴S△DBN= BN×BE= × ×4，整理得：S=﹣x2﹣8x﹣12；

则S与x之间的函数关系式：S= ，

①当﹣2≤x≤0时，S=x2+8x+12=（x+4）2﹣4，当x≥﹣4时，S随x的增大而增大，即﹣2≤x≤0，

②当﹣6≤x＜﹣2时，S=﹣x2﹣8x﹣12=﹣（x+4）2+4，当x≤﹣4时，S随x的增大而增大，即﹣6≤x≤﹣4，

综上所述：S随x增大而增大时，﹣2≤x≤0或﹣6≤x≤﹣4．

【解析】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
∵将△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，
∴∠OAD=∠EAD=45°，DE=OD，
∴OA=OD，
∵OA=2，
∴OD=2，
∴D点坐标是（2，0），
把A（0，﹣2），B（﹣6，﹣2），D（2，0）分别代入y=ax2+bx+c（a≠0），得
，解得 ，
故抛物线解析式为：y=﹣ x2﹣ x﹣2．
故答案是：y=﹣ x2﹣ x﹣2；
【考点精析】通过灵活运用相似三角形的应用，掌握测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解即可以解答此题．