Question

【题目】校园安全与每个师生、家长和社会有着切身的关系．某校教学楼共五层，设有左、右两个楼梯口，通常在放学时，若持续不正常，会导致等待通过的人较多，发生拥堵，从而出现不安全因素．通过观察发现位于教学楼二、三楼的七年级学生从放学时刻起，经过单个楼梯口等待人数按每分钟12人递增，6分钟后经过单个楼梯口等待人数按每分钟12人递减；位于四、五楼的八年级学生从放学时刻起，经过单个楼梯口等待人数y2与时间为t（分）满足关系式y2=﹣4t2+48t﹣96（0≤t≤12）．若在单个楼梯口等待人数超过80人，就会出现安全隐患．
（1）试写出七年级学生在单个楼梯口等待的人数y1（人）和从放学时刻起的时间t（分）之间的函数关系式，并指出t的取值范围．
（2）若七、八年级学生同时放学，试计算等待人数超过80人所持续的时间．
（3）为了避免出现安全隐患，该校采取让七年级学生提前放学措施，要使单个楼梯口等待人数不超过80人，则七年级学生至少比八年级提前几分钟放学？

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得，y1= ；
（2）解：同时放学：七年级单个楼梯口等待人数为y= ，

当0≤t≤6时，﹣4t2+60t﹣96=80，得t1=4，t2=11，

∴4≤t≤6；

当6＜t≤12时，﹣4t2+36t+48=80，得t1=1，t2=8，

∴6＜t≤8．

∵8﹣4=4，

∴等待人数超过80人所持续的时间为：8﹣4=4（分）．

∴等待人数超过80人所持续的时间为：8﹣4=4分钟；

（3）解：设七年级学生比八年级提前m（m＞0）分钟放学，

当0≤t≤6﹣m时，y=﹣4t2+48t﹣96+12（t+m）=﹣4t2+60t+12m﹣96，

∵﹣ =7.5＞6﹣m，

∴当t=6﹣m时，y有最大值=﹣4m2+120，由﹣4m2+120≤80，

∵m＞0，

∴m2≥10，得m≥ ；

当6﹣m＜t≤12﹣m时，y=﹣4t2+48t﹣96+144﹣12（t+m）=﹣4t2+36t﹣12m+48，

∵﹣ =4.5，

∴当t=4.5时，y有最大值=129﹣12m≤80，得m≥4 ；

当12﹣m＜t≤12时，y=﹣4t2+48t﹣96=﹣4（t﹣6）2+48≤48．

∴要使单个楼梯口等待人数不超过80人，则七年级学生比八年级至少提前4 分钟放学，

【解析】（1）前六分钟时，七年级单个楼梯口等待人数=12×时间；6分钟后七年级单个楼梯口等待人数=6×12﹣12×超过6分钟的时间，注意应根据等待的人数为非负数得到自变量的取值；（2）根据同时放学4、5楼不变，但2、3楼需要加八年级的人数，从而得出关系式求出即可；（3）让（1）（2）得到的式子为80列式求值即可．