Question

【题目】已知：如图，在ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E、F，AE、CF分别与BD相交于点G、H，联结AH、CG．

求证：四边形AGCH是平行四边形．

Answer 1

【答案】证明见解析.

【解析】法1：由平行四边形对边平行，且CF与AD垂直，得到CF与BC垂直，根据AE与BC垂直，得到AE与CF平行，得到一对内错角相等，利用等角的补角相等得到∠AGB=∠DHC，根据AB与CD平行，得到一对内错角相等，再由AB=CD，利用AAS得到三角形ABG与三角形CDH全等，利用全等三角形对应边相等得到AG=CH，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证；

法2：连接AC，与BD交于点O，利用平行四边形的对角线互相平分得到OA=OC，OB=OD，再由AB与CD平行，得到一对内错角相等，根据CF与AD垂直，AE与BC垂直，得一对直角相等，利用ASA得到三角形ABG与三角形CDH全等，利用全等三角形对应边相等得到BG=DH，根据等式的性质得到OG=OH，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形即可得证．

证明：在□ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，

∵CF⊥AD，∴CF⊥BC，

∵AE⊥BC，∴AE∥CF，即AG∥CH，∴∠AGH=∠CHG，

∵∠AGB=180°﹣∠AGH，∠DHC=180°﹣∠CHG，

∴∠AGB=∠DHC，

∵AB∥CD，∴∠ABG=∠CDH，∴△ABG≌CDH，

∴AG=CH，

∴四边形AGCH是平行四边形；

法2：连接AC，与BD相交于点O，

在□ABCD中，AO=CO，BO=DO，∠ABE=∠CDF，AB∥CD，

∴∠ABG=∠CDH，

∵CF⊥AD，AE⊥BC，

∴∠AEB=∠CFD=90°，

∴∠BAG=∠DCH，

∴△ABG≌CDH，

∴BG=DH，

∴BO﹣BG=DO﹣DH，

∴OG=OH，

∴四边形AGCH是平行四边形．

“点睛”此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平式子变形的判定与性质是解本题的关键.