Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．

（1）求证：CE=AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵DE⊥BC，

∴∠DFB=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠DFB，

∴AC∥DE，

∵MN∥AB，即CE∥AD，

∴四边形ADEC是平行四边形，

∴CE=AD

（2）解：四边形BECD是菱形，

理由是：∵D为AB中点，

∴AD=BD，

∵CE=AD，

∴BD=CE，

∵BD∥CE，

∴四边形BECD是平行四边形，

∵∠ACB=90°，D为AB中点，

∴CD=BD，

∴四边形BECD是菱形

（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：

解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，

∴∠ABC=∠A=45°，

∴AC=BC，

∵D为BA中点，

∴CD⊥AB，

∴∠CDB=90°，

∵四边形BECD是菱形，

∴菱形BECD是正方形，

即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．

【解析】（1）由题意得到四边形ADEC是平行四边形，即CE=AD；（2）由D为AB中点，得到AD=BD，由CE=AD，得到BD=CE，因为BD∥CE，得到四边形BECD是平行四边形，由∠ACB=90°，D为AB中点，得到CD=BD，根据菱形的定义得到四边形BECD是菱形；（3）由∠ACB=90°，∠A=45°，得到∠ABC=∠A=45°，AC=BC，因为D为BA中点，得到CD⊥AB，∠CDB=90°，由四边形BECD是菱形，根据正方形的判定方法得到菱形BECD是正方形，得到四边形BECD是正方形.