Question

【题目】 抛物线与轴交于点（在的左侧），与轴交于点.

⑴求直线的解析式；

⑵抛物线的对称轴上存在点，使，利用图求点的坐标；

⑶点在轴右侧的抛物线上，利用图比较与的大小，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+3；（2）（1，2+2）或（1，﹣2﹣2）,（3）当Q点横坐标为5时，∠OCA=∠OCQ；当Q点横坐标大于5时，则∠OCQ逐渐变小，故∠OCA＞∠OCQ；当Q点横坐标小于5且大于0时，则∠OCQ逐渐变大，故∠OCA＜∠OCQ．.

【解析】

试题分析：．（1）由抛物线解析式可求得B、C的坐标，利用待定系数法可求得直线BC的解析式；

（2）由直线BC解析式可知∠APB=∠ABC=45°，设抛物线对称轴交直线BC于点D，交x轴于点E，结合二次函数的对称性可求得PD=BD，在Rt△BDE中可求得BD，则可求得PE的长，可求得P点坐标；

（3）设Q（x，﹣x2+2x+3），当∠OCQ=∠OCA时，利用两角的正切值相等可得到关于x的方程，可求得Q点的横坐标，再结合图形可比较两角的大小．

试题解析：（1）在y=﹣x2+2x+3中，令y=0可得0=﹣x2+2x+3，解得x=﹣1或x=3，令x=0可得y=3，

∴B（3，0），C（0，3），∴可设直线BC的解析式为y=kx+3，

把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，∴直线BC解析式为y=﹣x+3；

（2）∵OB=OC，∴∠ABC=45°，

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线对称轴为x=1，

设抛物线对称轴交直线BC于点D，交x轴于点E，当点P在x轴上方时，如图1，

∵∠APB=∠ABC=45°，且PA=PB，

∴∠PBA=，∠DPB=∠APB=22.5°，

∴∠PBD=67.5°﹣45°=22.5°，∴∠DPB=∠DBP，∴DP=DB，

在Rt△BDE中，BE=DE=2，由勾股定理可求得BD=2，

∴PE=2+2，∴P（1，2+2）；

当点P在x轴下方时，由对称性可知P点坐标为（1，﹣2﹣2）；

综上可知P点坐标为（1，2+2）或（1，﹣2﹣2）；

（3）设Q（x，﹣x2+2x+3），当点Q在x轴下方时，如图2，过Q作QF⊥y轴于点F，

当∠OCA=∠OCQ时，则△QEC∽△AOC，

∴，即，解得x=0（舍去）或x=5，

∴当Q点横坐标为5时，∠OCA=∠OCQ；

当Q点横坐标大于5时，则∠OCQ逐渐变小，故∠OCA＞∠OCQ；

当Q点横坐标小于5且大于0时，则∠OCQ逐渐变大，故∠OCA＜∠OCQ．