Question

【题目】如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是 ．
①EF= OE；②S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；③BE+BF= OA；④在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE= ；⑤OGBD=AE2+CF2 ．

Answer 1

【答案】①②③⑤
【解析】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，
∴∠BOF+∠COF=90°，
∵∠EOF=90°，
∴∠BOF+∠COE=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，BE=CF，
∴EF= OE；故正确；
②∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC= S正方形ABCD ，
∴S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故正确；
③∴BE+BF=BF+CF=BC= OA；故正确；
④过点O作OH⊥BC，
∵BC=1，
∴OH= BC= ，
设AE=x，则BE=CF=1﹣x，BF=x，
∴S△BEF+S△COF= BEBF+ CFOH= x（1﹣x）+ （1﹣x）× =﹣ （x﹣ ）2+ ，
∵a=﹣ ＜0，
∴当x= 时，S△BEF+S△COF最大；
即在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE= ；故错误；
⑤∵∠EOG=∠BOE，∠OEG=∠OBE=45°，
∴△OEG∽△OBE，
∴OE：OB=OG：OE，
∴OGOB=OE2 ，
∵OB= BD，OE= EF，
∴OGBD=EF2 ，
∵在△BEF中，EF2=BE2+BF2 ，
∴EF2=AE2+CF2 ，
∴OGBD=AE2+CF2 ． 故正确．
故答案为：①，②，③，⑤．

①由四边形ABCD是正方形，直角∠MPN，易证得△BOE≌△COF（ASA），则可证得结论；②由①易证得S四边形OEBF=S△BOC= S正方形ABCD ， 则可证得结论；③由BE=CF，可得BE+BF=BC，然后由等腰直角三角形的性质，证得BE+BF= OA；④首先设AE=x，则BE=CF=1﹣x，BF=x，继而表示出△BEF与△COF的面积之和，然后利用二次函数的最值问题，求得答案；⑤易证得△OEG∽△OBE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得OGOB=OE2 ， 再利用OB与BD的关系，OE与EF的关系，即可证得结论．此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及二次函数的最值问题．注意掌握转化思想的应用是解此题的关键．