Question

【题目】已知，在以O为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为A （﹣1，﹣4），且经过点B（﹣2，﹣3），与x轴分别交于C、D两点．

（1）求直线OB以及该抛物线相应的函数表达式；

（2）如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的下方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，求MN的最大值；

（3）如图2，过点A的直线交x轴于点E，且AE∥y轴，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分别交于F、G两点．当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）直线OB解析式为y=x，抛物线为y=x2+2x﹣3；（2）；（3）点P运动时，EF+EG为定值8．

【解析】

试题分析：（1）由B点坐标利用待定系数法可求直线OB解析式，利用顶点式可求得抛物线解析式；

（2）设M（t，t2+2t﹣3），MN=s，则可表示出N点坐标，由MN的纵坐标相等可得到关于s和t的关系式，再利用二次函数的性质可求得其最大值；

（3）设P（t，t2+2t﹣3），则可表示出PQ、CQ、DQ，再利用相似三角形的性质可用t分别表示出EF和EG的长，则可求得其定值．

试题解析：（1）设直线OB解析式为y=kx，由题意可得﹣3=﹣2k，解得k=，

∴直线OB解析式为y=x，

∵抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣4），

∴可设抛物线解析式为y=a（x+1）2﹣4，

∵抛物线经过B（﹣2，﹣3），

∴﹣3=a﹣4，解得a=1，

∴抛物线为y=x2+2x﹣3；

（2）设M（t，t2+2t﹣3），MN=s，则N的横坐标为t﹣s，纵坐标为，

∵MN∥x轴，

∴t2+2t﹣3=，得s==，

∴当t=时，MN有最大值，最大值为；

（3）EF+EG=8．理由如下：

如图2，过点P作PQ∥y轴交x轴于Q，

在y=x2+2x﹣3中，令y=0可得0=x2+2x﹣3，解得x=﹣3或x=1，

∴C（﹣3，0），D（1，0），

设P（t，t2+2t﹣3），则PQ=﹣t2﹣2t+3，CQ=t+3，DQ=1﹣t，

∵PQ∥EF，

∴△CEF∽△CQP，

∴，

∴EF=PQ=（﹣t2﹣2t+3），

同理△EGD∽△QPD得，

∴EG=PQ=，

∴EF+EG=（﹣t2﹣2t+3）+=2（﹣t2﹣2t+3）（）=2（﹣t2﹣2t+3）（）=2（﹣t2﹣2t+3）（）=8，

∴当点P运动时，EF+EG为定值8．