Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C、E是⊙O上的两点，CE=CB，，延长AE交BC的延长线于点F.

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)求证：CE=CF

(3)若BD=1,,求直径AB的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1

【解析】

（1）连接OC，可证得∠CAD＝∠BCD，由∠CAD＋∠ABC＝90°，可得出∠OCD＝90°，即结论得证；

（2）证明△ABC≌△AFC可得CB＝CF，又CB＝CE，则CE＝CF；

（3）证明△DCB∽△DAC，可求出DA的长，再求出AB长即可.

（1）连接OC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAD＋∠ABC＝90°，

∵CE＝CB，

∴∠CAE＝∠CAB，

∵∠BCD＝∠CAE，

∴∠CAB＝∠BCD，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∴∠OCB＋∠BCD＝90°，

∴∠OCD＝90°，

∴CD是⊙O的切线；

（2）∵∠BAC＝∠CAE，∠ACB＝∠ACF＝90°，AC＝AC，

∴△ABC≌△AFC（ASA），

∴CB＝CF，

又∵CB＝CE，

∴CE＝CF；

（3）∵∠BCD＝∠CAD，∠ADC＝∠CDB，

∴△DCB∽△DAC，

∴，

∴

∴DA＝2，

∴AB＝ADBD＝21＝1，