Question

【题目】（1）如图甲，AB∥CD，试问∠2与∠1+∠3的关系是什么，为什么？

（2）如图乙，AB∥CD，试问∠2+∠4与∠1+∠3+∠5一样大吗？为什么？

（3）如图丙，AB∥CD，试问∠2+∠4+∠6与∠1+∠3+∠5+∠7哪个大？为什么？

你能将它们推广到一般情况吗？请写出你的结论．

Answer 1

【答案】（1）∠2=∠1+∠3．（2）一样大；（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）首先过点E作EF∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF，根据平行线的性质，易得∠2=∠BEF+∠CEF=∠1+∠3；

（2）首先分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF∥GH∥MN，由平行线的性质，可得∠2+∠4=∠1+∠3+∠5．

（3）首先分别过点E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ，然后利用平行线的性质，即可证得∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7．

解：（1）∠2=∠1+∠3．

过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠BEF=∠1，∠CEF=∠3，

∴∠2=∠BEF+∠CEF=∠1+∠3；

（2）∠2+∠4=∠1+∠3+∠5．

分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN，

∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠CMN=∠5，

∴∠2+∠4=∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠CMN=∠1+∠EGH+∠MGH+∠5=∠1+∠3+∠5；

（3）∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7．

分别过点E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ，

∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠KMN=∠LKM，∠LKP=∠KPQ，∠QPC=∠7，

∴∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7．

归纳：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等．