Question

【题目】如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E为OB的中点，连接CE并延长交⊙O于点F，点F恰好落在的中点，连接AF并延长与CB的延长线相交于点G，连接OF.

(1)求证：OF＝BG；

(2)若AB＝4，求DC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析　　（2）.

【解析】（1）直接利用圆周角定理结合平行线的判定方法得出FO是△ABG的中位线，即可得出答案；

（2）首先得出△FOE≌△CBE（ASA），则BC=FO=AB=2，进而得出AC的长，再利用相似三角形的判定与性质得出DC的长．

(1)证明：∵AB为⊙O的直径

∴+=180°

∵点F是的中点，

∴＝＝90°，

∴∠AOF＝90°

又∵OA＝OF＝AB

∴∠OAF＝∠OFA＝45°

∵∠ABC＝∠ABG＝90

∴∠OAF＝∠G＝45°

∴AB＝BG

∴OF＝BG.

(2)在△FOE和△CBE中，

∠FOE＝∠CBE，OE=BE，∠OEF＝∠BEC，

∴△FOE≌△CBE(ASA)．

∴BC＝FO＝AB＝2.

∴AC＝＝2.

连接DB.

∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°.

由面积法可知，AB×BC= AC×BD

∴BD=.

由勾股定理，得DC＝.