Question

【题目】如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边三角形ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．

（1）连接AQ、CP交于点M，则在P，Q运动的过程中，证明≌；

（2）会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；

（3）P、Q运动几秒时，是直角三角形？

（4）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则变化吗？若变化说明理由，若不变，则求出它的度数。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠CMQ=60°，不变；（3）当第秒或第2秒时，△PBQ为直角三角形；（4）∠CMQ=120°，不变．

【解析】

（1）利用SAS可证全等；

（2）先证△ABQ≌△CAP，得出∠BAQ=∠ACP，通过角度转化，可得出∠CMQ=60°；

（3）存在2种情况，一种是∠PQB=90°，另一种是∠BPQ=90°，分别根据直角三角形边直角的关系可求得t的值；

（4）先证△PBC≌△ACQ，从而得出∠BPC=∠MQC，然后利用角度转化可得出∠CMQ=120°．

（1）证明：在等边三角形ABC中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°

又由题中“点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s.”可知：

AP=BQ

∴≌；

（2）∠CMQ=60°不变

∵等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°

又由条件得AP=BQ，

∴△ABQ≌△CAP(SAS)，

∴∠BAQ=∠ACP，

∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°；

（3）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4-t，

①当∠PQB=90°时，

∵∠B=60°，

∴PB=2BQ，得4-t=2t，t=；

②当∠BPQ=90°时，

∵∠B=60°，

∴BQ=2PQ，得2t=2（4-t），t=2；

∴当第秒或第2秒时，△PBQ为直角三角形；

（4）∠CMQ=120°不变，

∵在等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°，

∴∠PBC=∠ACQ=120°，

又由条件得BP=CQ，

∴△PBC≌△ACQ(SAS)，

∴∠BPC=∠MQC，

又∵∠PCB=∠MCQ，

∴∠CMQ=∠PBC=180°-60°=120°．