Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于点B，C两点（点C在x轴正半轴上），△ABC为等腰直角三角形，且面积为4．现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线经过点C时，与x轴的另一交点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H．

（1）求a，c的值；
（2）连结OF，试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由；
（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P，Q，E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵△ABC为等腰直角三角形，

∴OA= BC．

又∵△ABC的面积= BC×OA=4，即OA2=4，

∴OA=2．

∴A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0）．

∴ ，

解得： ．

（2）

解：△OEF是等腰三角形．理由如下：如答图1，

∵A （0，2）），B （﹣2，0），

∴直线AB的函数表达式为：y=x+2，

又∵平移后的抛物线顶点F在射线BA上，

∴设顶点F的坐标为（m，m+2）．

∴平移后的抛物线函数表达式为：y=﹣ （x﹣m）2+m+2．

∵抛物线过点C （2，0），

∴﹣ （x﹣m）2+m+2=0，解得m1=0，m2=6．

∴平移后的抛物线函数表达式为：y=﹣（x﹣6）2+8，

即y=﹣ x2+6x﹣10．

当y=0时，﹣ x2+6x﹣10=0，

解得x1=2，x2=10．

∴E（10，0），OE=10．

又∵F（6，8），OH=6，FH=8．

∴OF= = =10，

∴OE=OF，即△OEF为等腰三角形．

（3）

解：存在点Q（6，2 ）或（6，3）或（10，12）或（4+ ，6+ ）或（4﹣ ，6﹣ ），使以P，Q，E三点为顶点的三角形与△POE全等．

理由如下：

点Q的位置分两种情形：

情形一：点Q在射线HF上，

当点P在x轴上方时，如答图2．

∵△PQE≌△POE，

∴QE=OE=10．

在Rt△QHE中，QH= = =2 ，

∴Q（6，2 ）．

当点P在x轴下方时，如答图3，有PQ=OE=10，

过P点作PK⊥HF于点K，则有PK=6．

在Rt△PQK中，QK= = =8，

∵∠PQE=90°，

∴∠PQK+∠HQE=90°．

∵∠HQE+∠HEQ=90°，

∴∠PQK=∠HEQ．

又∵∠PKQ=∠QHE=90°，

∴△PKQ∽△QHE．

∴ ，

即 ，

解得QH=3．

∴Q（6，3）．

情形二：点Q在射线AF上，

当PQ=OE=10时，如答图4，有QE=PO，

∴四边形POEQ为矩形，

∴Q的横坐标为10．

当x=10时，y=x+2=12，

∴Q（10，12）．

当QE=OE=10时，如答图5．

过Q作QM⊥y轴于点M，过E点作x轴的垂线交QM于点N，

设Q的坐标为（x，x+2），

∴MQ=x，QN=10﹣x，EN=x+2．

在Rt△QEN中，有QE2=QN2+EN2，

即102=（10﹣x）2+（x+2）2，

解得：x=4± ．

当x=4+ 时，如答图5，y=x+2=6+ ，

∴Q（4+ ，6+ ）．

当x=4﹣ 时，如答图6，y=x+2=6﹣ ，

∴Q（4﹣ ，6﹣ ）．

综上所述，存在点Q（6，2 ）或（6，3）或（10，12）或（4+ ，6+ ）或（4﹣ ，6﹣ ），使以P，Q，E三点为顶点的三角形与△POE全等．

【解析】（1）由△ABC为等腰直角三角形，且面积为4，易求得OA的长，即可求得点A，B，C的坐标，然后由待定系数法求得答案；（2）首先求得直线AB的函数表达式，设顶点F的坐标为（m，m+2），由抛物线过点C （2，0），可求得平移后的抛物线函数表达式，继而求得点E的坐标，即可判定△OEF是等腰三角形；（3）分别情形一：从点Q在射线HF上，当点P在x轴上方时或当点P在x轴下方时，以及情形二：点Q在射线AF上，去分析求解即可求得答案．