Question

【题目】将两块全等的含30°角的直角三角扳按图1的方式放置，已知∠BAC＝∠B1A1C＝30°，AB＝2BC．固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转（如图2所示），AB与A1C、A1B1分别交于点D、E，AC与A1B1交于点F．给出下列结论：

①当旋转角等于20°时，∠BCB1＝l60°；

②当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直；

③当旋转角等于45°时，AB∥CB1；

④当AB∥CB1时，点D为A1C的中点．

其中正确的是_____（写出所有正确结论的序号）．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

求出∠BCB1+A1CA＝180°，求出∠A1CA和∠BCB1，再判断①②③即可；根据两直线平行，同旁内角互补求出∠ADC＝90°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得CD＝AC，根据旋转的性质可得A1C＝AC，然后求出解，即可判断④．

①∵∠ACB＝∠A1CB1＝90°，

∴∠BCB1+A1CA＝∠ACB+∠ACB1+∠A1CA＝∠ACB+∠A1CB1＝90°+90°＝180°，

∵旋转角等于20°，

∴∠A1CB＝90°﹣20°＝70°，

∴∠A1CA＝90°﹣70°＝20°，

∴∠BCB1＝180°﹣∠A1CA＝160°，

∴①正确；

②∵两块全等的含30°角的直角三角扳按图I的方式放置，

∴∠B＝∠B1＝60°，

∵旋转角等于30°，

∴∠A1CB＝90°﹣30°＝60°，

∴∠A1CA＝90°﹣60°＝30°，

∴∠BCB1＝180°﹣∠A1CA＝150°，

∴∠BEB1＝360°﹣60°﹣60°﹣150°＝90°，

∴AB与A1B1垂直，

∴②正确；

③∵旋转角等于45°，

∴∠A1CB＝90°﹣45°＝45°，

∴∠A1CA＝90°﹣45°＝45°，

∴∠BCB1＝180°﹣∠A1CA＝145°，

∴∠BEB1+∠B＝135°+60°＝195°≠180°，

∴AB和CB1不平行，

∴③错误；

④∵AB∥CB1，

∴∠ADC＝180°﹣∠A1CB1＝180°﹣90°＝90°，

∵∠BAC＝30°，

∴CD＝AC，

又∵由旋转的性质得，A1C＝AC，

∴A1D＝CD，

∴④正确；

故答案为：①②④．