Question

【题目】如图，点E、F、G、H分别在菱形ABCD的四条边上，且BE=BF=DG=DH，连接EF，FG，GH，HE得到四边形EFGH．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）设AB=a，∠A=60°，当BE为何值时，矩形EFGH的面积最大？

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵DG=DH，

∴∠DHG=∠DGH= ，

同理，∠CGF= ，

∴∠DGH+∠CGF= ，

又∵菱形ABCD中，AD∥BC，

∴∠D+∠C=180°，

∴∠DGH+∠CGF=90°，

∴∠HGF=90°，

同理，∠GHE=90°，∠EFG=90°，

∴四边形EFGH是矩形；

（2）解：AB=a，∠A=60°，则菱形ABCD的面积是： a2，

设BE=x，则AE=a﹣x，

则△AEH的面积是： ，

△BEF的面积是： ，

则矩形EFGH的面积y= a2﹣ ﹣ ，

即y=﹣ x2+ ax，

则当x= = 时，函数有最大值．

此时BE= ．

【解析】（1）利用等腰三角形的性质：等边对等角，以及平行线的性质可以证得∠DGH+∠CGH=90°，则∠HGF=90°，根据三个角是直角的四边形是矩形，即可证得；（2）设BE的长是x，则利用x表示出矩形EFGH的面积，根据函数的性质即可求解．
【考点精析】通过灵活运用二次函数的最值和菱形的性质，掌握如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a；菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半即可以解答此题．