Question

【题目】如图1，点O为正方形ABCD 的中心，E为AB 边上一点，F为BC边上一点，△EBF的周长等于 BC 的长.

（1）求∠EOF 的度数.

（2）连接 OA、OC（如图2）.求证：△AOE∽△CFO.

（3）若OE=OF，求的值.

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）证明见解析；（3）

【解析】分析：(1)、在BC上取一点G，使得CG=BE，连接OB、OC、OG，然后证明△OBE和△OCG全等，从而得出∠BOE＝∠COG，∠BEO＝∠CGO，OE＝OG，根据三角形的周长得出EF=GF，从而得出△FOE和△GOF全等，得出∠EOF的度数；(2)、连接OA，根据点O为正方形ABCD的中心得出∠OAE=∠FCO=45°，结合∠BOE=∠COG得出∠AEO=∠COF，从而得出三角形相似；(3)、根据相似得出线段比，根据相似比求出AE和CO的关系，CF和AO的关系，从而得出答案．

详解：解：(1)、如图，在BC上取一点G，使得CG=BE，连接OB、OC、OG.

∵点O为正方形ABCD的中心， ∴ OB=OC，∠BOC＝90°，∠OBE＝∠OCG＝45°．

∴△OBE≌△OCG（SAS）. ∴∠BOE＝∠COG，∠BEO＝∠CGO，OE＝OG.

∴∠EOG＝90°，∵△BEF的周长等于BC的长，

∴ EF＝GF. ∴△EOF≌△GOF（SSS）.∴∠EOF＝∠GOF＝45°．

(2)、连接OA．∵ 点O为正方形ABCD的中心， ∴∠OAE＝∠FCO＝45°．

∵∠BOE＝∠COG， ∠AEO＝∠BOE＋∠OBE＝∠BOE＋45°，

∠COF＝∠COG＋∠GOF＝∠COG＋45°． ∴ ∠AEO＝∠COF，且∠OAE＝∠FCO．

∴ △AOE∽△CFO．

(3)、∵△AOE∽△CFO，∴＝＝．即AE＝ ×CO，CF＝AO÷．

∵OE＝OF，∴＝．∴AE＝CO，CF＝AO． ∴＝．