Question

【题目】拓展与探索：如图，在正△ABC中，点E在AC上，点D在BC的延长线上.

(1)如图1，AE＝EC＝CD，求证：BE＝ED；

(2)如图2，若E为AC上异于A、C的任一点，AE＝CD，(1)中结论是否仍然成立？为什么？

(3)若E为AC延长线上一点，且AE＝CD，试探索BE与ED间的数量关系，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)成立，理由见解析；(3)BE＝ED，证明见解析.

【解析】

(1)根据等边三角形的性质得到∠EBC＝∠ABC＝30°，根据等腰三角形的判定定理证明；

(2)过点E作EF∥BC，证明△EFB≌△DCE，根据全等三角形的性质证明；

(3)过点E作EF∥AB，证明△BCE≌△DFE，根据全等三角形的性质证明.

解：(1)∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，

∴BE平分∠ABC，

∴∠EBC＝∠ABC＝30°，

∵∠ACB＝60°，

∴∠ECD＝120°，

∵CE＝CD，

∴∠D＝∠CED＝30°，

∴∠EBC＝∠D＝30°，

∴BE＝ED；

(2)成立，

理由如下：过点E作EF∥BC，交AB于F，

∵△ABC是等边三角形，

∴△AEF是等边三角形，AF＝AE＝EF，

∴∠BFE＝∠ECD＝120°，BF＝EC，

∵AE＝CD，

∴EF＝CD，

在△EFB和△DCE中，，

∴△EFB≌△DCE(SAS)

∴BE＝ED；

(3)结论：BE＝ED.

理由如下：如图3，过点E作EF∥AB，交CD于F，

则△CEF是等边三角形，

∴CF＝CE＝EF，∠BCE＝∠DFE＝120°，

∵AE＝CD，

∴AE﹣CE＝CD﹣CF，即AC＝FD，

∵AC＝BC，

∴BC＝FD，

在△BCE和△DFE中，

，

∴△BCE≌△DFE(SAS)，

∴BE＝ED.