Question

【题目】已知：如图，在ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE=CF，连接EF，分别交AB，CD于点H，G，连接DH，BG．

（1）求证：△AEH≌△CFG；

（2）连接BE，若BE=DE，则四边形BGDH是什么特殊四边形？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】分析: （1）先根据平行四边形的性质可得出AD∥BC，∠DAB=∠BCD，再根据平行线的性质及补角的性质得出∠E=∠F，∠EAH=∠FCG，从而利用ASA可作出证明；

（2）根据平行四边形的性质及（1）的结论可得BH∥DG，BH=DG,则由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形BHDG是平行四边形，再证明BH=DH即可得到四边形BHDG是菱形

详解:

（1）四边形ABCD是平行四边形，

∴∠DAB=∠BCD，

∴∠EAH=∠FCG，

又∵AD∥BC，

∴∠E=∠F．

∵在△AEH与△CFG中，

，

∴△AEH≌△CFG（ASA）；

（2）连接BE，∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD且AB=CD，

又由（1）得AH=CG，∠AEH=∠F，AE=CF，

∴BH∥DG，BH=DG,，

∴四边形BHDG是平行四边形，

∵AE=CF，AD=BC，

∴DE=BF，

∵BE=DE，

∴BE=BF，

∴∠BEF=∠F，

∵∠AEH=∠F，

∴∠BEF=∠DEF，

在△BEH和△DEH中，

∵，

∴BH=DH，

∵四边形BHDG是平行四边形，

∴四边形BHDG是菱形．

点睛: 本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握ASA和SAS证明两个三角形的判定以及菱形的判定定理，此题有一定的难度.