Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，点A(0，2)，B(p,q)在直线上，抛物线m经过点B、C(p+4,q)，且它的顶点N在直线l上.

(1)若B(－2，1)，

①请在平面直角坐标系中画出直线l与抛物线m的示意图；

②设抛物线m上的点Q的模坐标为e(－2≤e≤0)过点Q作x轴的垂线，与直线l交于点H.若QH=d，当d随e的增大面增大时，求e的取值范围；

(2)抛物线m与y轴交于点F，当抛物线m与x轴有唯一交点时，判断△NOF的形状并说明理由.

Answer 1

【答案】(1)①画图见解析；②当d随e的増大而増大时，e的取直范围是-2<e<-1；(2) 为等腰直角三角形.

【解析】

（1）①根据题意画出图形即可，②由①可求得，直线，抛物线

设过点Q且与轴垂直的直线与交于点H, 设点的坐标为,点H的坐标为, 当吋，点总在点的正上方，可得, 再根据的増大而増大确定e的取值范围.

(2)根据B(p,q)、C(p+4,q)在抛物线上，得出抛物线的对称轴内x=p+2，再根据抛物线轴只有一个交点，可设顶点N（p+2,0）设出抛物线的解析式，根据题意

得出，从而得出F点的坐标，得出三角形NOF的形状.

（1）①如图即为所求

②解：由①可求得，直线，抛物线

因为点在抛物线上，过点且与轴垂直的直线与交于点,

所以可设点的坐标为,点的坐标为,其中.

当吋，点总在点的正上方，可得

因为

所以当的増大而増大时，的取值范围是

(2) 因为B(p,q)、C(p+4,q)在抛物线上，

所以抛物线的对称轴内.

又因为抛物线轴只有一个交点，可设顶点.

设抛物线的解析式为.

当时，.

可得

把代入,，可得.

化简可得 ①

设直线的解析式为，

分別把代入，可得②，

及 ③.

由①，②，③可得

所以.

又因为，

所以,且

所以为等腰直角三角形.