【题目】如图①，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去四个全等的等腰直角三角形（阴影部分所示），其中E，F在AB上；再沿虚线折起，点A，B，C，D恰好重合于点O处（如图②所示），形成有一个底面为正方形GHMN的包装盒，设AE=x （cm）．

（1）求线段GF的长；（用含x的代数式表示）
（2）当x为何值时，矩形GHPF的面积S （cm2）最大？最大面积为多少？
（3）试问：此种包装盒能否放下一个底面半径为15cm，高为10cm的圆柱形工艺品，且使得圆柱形工艺品的一个底面恰好落在图②中的正方形GHMN内？若能，请求出满足条件的x的值或范围；若不能，请说明理由．

参考答案：

【答案】
（1）解：∵AE=BF=x，

∴EF=AB﹣AE﹣BF=60﹣2x．

∴在Rt△GEF中，GF= EF= ×（60﹣2x）=30 ﹣ x；


（2）解：∵NG= AE= x，即GH=NG= x，

∴S= x （30 ﹣ x）=﹣2x2+60x

=﹣2（x﹣15）2+450；

∵﹣2＜0，

∴当x=15时，S最大=450；


（3）解：能放下．

理由是：当圆柱形工艺品与GHMN相切时，x=15 ，

此时，30 ﹣ x=30 ﹣15 × =30 ﹣30＞10，故一定能放下．

根据题意得：

解得：15 ≤x≤30﹣5 ．


【解析】（1）主要考查切去的图形为等腰直角三角形，等腰直角三角形的边比为1：1：，根据边比的关系，即可分别写出对应边的量。
（2）因为剪去的为等腰直角三角形，所以对应的△FBP也为等腰直角三角形，即GH=NG，底面为正方形，即可表达出S的表达式，利用二次函数进行求最值。（3）根据圆柱工艺品的高和底面半径列出相应的不等式进行求解即可。
【考点精析】本题主要考查了二次函数的最值和正多边形和圆的相关知识点，需要掌握如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a；圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角；圆的外切四边形的两组对边的和相等才能正确解答此题．

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