Question

【题目】已知：如图，二次函数y=ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），点B（4，0），与y轴的交点为C

（1）求二次函数的关系式；

（2）已知点M是线段OB上一动点，过点M作平行于y轴的直线l，直线l与抛物线交于点E，与直线BC交于点F，连接CE，若△CEF与△OBC相似，求点M的坐标；

（3）已知点M是x轴正半轴上一动点，过点M作平行于y轴的直线l，直线l与抛物线交于P，与直线BC交于点Q，连接CP，将△CPQ沿CP翻折后，是否存在这样的直线l，使得翻折后的点Q刚好落在y轴上？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣3；（2）点M的坐标为（，0）或（3，0）；（3）点M的坐标为（，0）或（，0）．

【解析】试题分析：（1）理由待定系数法即可解决问题；

（2）法两种情形①如图1中，当CE⊥CF时，△CEF∽△OBC．求出直线EC的解析式，利用方程组即可解决问题；②如图2中，当CE⊥EF时，△EFC∽△OBC．此时E（3，－3），M（3，0）；

（3）分两种情形．①如图3中，当点Q′落在y轴的负半轴上时，设P（m， m2－m－3），则Q（m， m－3）．②如图4中，如图3中，当点Q′落在y轴的负半轴上时，设P（m， m2－m－3），则Q（m， m－3）．同法可得：PQ＝CQ．分别构建方程即可解决问题．

试题解析：

解：（1）把A（﹣1，0），点B（4，0）代入y＝ax2＋bx﹣3，

得到，解得，

∴抛物线的解析式为y＝x2－x－3．

（2）①如图1中，当CE⊥CF时，△CEF∽△OBC．

∵B（4，0），C（0，﹣3），

∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，

∴直线CE的解析式为y＝﹣x﹣3，

由，解得或，

∴点E坐标为（，﹣），M（，0）；

②如图2中，当CE⊥EF时，△EFC∽△OBC．此时E（3，﹣3），M（3，0）

综上所述，满足条件的点M的坐标为（，0）或（3，0）；

（3）存在．①如图3中，当点Q′落在y轴的负半轴上时，设P（m， m2－m－3），则Q（m， m﹣3）．

∵PQ∥CQ′，

∴∠PCQ＝∠PCQ′＝∠CPQ，

∴QC＝QP＝﹣m2＋3m，

∵QM∥OC，

∴＝，

∴＝，

解得m＝或0（舍弃），

∴M（，0）；

②如图4中，如图3中，当点Q′落在y轴的负半轴上时，设P（m， m2－m－3），则Q（m， m﹣3）．同法可得：PQ＝CQ．

4

∵PQ∥CQ′，

∴∠PCQ＝∠PCQ′＝∠CPQ，

∴QC＝QP＝﹣m2＋3m，

∵QM∥OC，

∴＝，

∴＝，

解得m＝或0（舍弃），

∴M（，0），

综上所述，满足条件的点M的坐标为（，0）或（，0）．