Question

【题目】如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC．

（1）求证：CA是圆的切线；

（2）若点E是BC上一点，已知BE=6，tan∠ABC=，tan∠AEC=，求圆的直径．

Answer 1

【答案】解： （1）∵BC是直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠DCB=90°，

∵∠ACD=∠ABC，∴∠ACD+∠DCB=90°，∴BC⊥CA，∴CA是圆的切线．

（2）在Rt△AEC中，tan∠AEC=，∴, ;

在Rt△ABC中，tan∠ABC=，∴, ;

∵BC-EC=BE，BE=6，∴,解得AC=,

∴BC=．即圆的直径为10.

【解析】试题分析：（1）根据圆周角定理BC得到∠BDC=90°，推出∠ACD+∠DCB=90°，即BC⊥CA，即可判断CA是圆的切线；

（2）根据锐角三角函数的定义得到tan∠AEC=，tan∠ABC=，推出AC=EC，BC=AC，代入BC﹣EC=BE即可求出AC，进一步求出BC即可．

试题解析：（1）证明：∵BC是直径，

∴∠BDC=90°，

∴∠ABC+∠DCB=90°，

∵∠ACD=∠ABC，

∴∠ACD+∠DCB=90°，

∴BC⊥CA，∴CA是圆的切线．

（2）解：在Rt△AEC中，tan∠AEC=，

∴，AC=EC，

在Rt△ABC中，tan∠ABC=，

∴，BC=AC，

∵BC﹣EC=BE，BE=6，

∴，

解得： ，

∴BC==10，

答：圆的直径是10．