Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=c，AC=b．AD是△ABC的角平分线，DE⊥A于E，DF⊥AC于F，EF与AD相交于O，已知△ADC的面积为1．

（1）证明：DE=DF；
（2）试探究线段EF和AD是否垂直？并说明理由；
（3）若△BDE的面积是△CDF的面积2倍．试求四边形AEDF的面积．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：

∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥A于E，DF⊥AC于F，

∴DE=DF（角平分线的性质）

（2）

解：垂直．理由如下：

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠EAD=∠FAD，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠AED=∠AFD=90°，

在Rt△AED和Rt△AFD中

，

∴Rt△AED≌Rt△AFD（AAS），

∴AE=AF，

∴点A在线段EF的垂直平分线上，

同理点D也在线段EF的垂直平分线上，

∴AD⊥EF

（3）

解：设S△CDF=x，则S△BDE=2x，

∵S△ACD=1，且△AED≌△AFD，

∴S△AED=S△AFD=1﹣x，

∴S△ABD=S△BDE+S△AED=2x+1﹣x=x+1，

又S△ABD= ABDE，S△ACD= ACDF，且AB=c，AC=b，

∴ ×cDE=x+1， ×bDF=1，

∴DE= ，DF= ，

又由（1）可知DE=DF，

∴ = ，解得x= ﹣1，

∵△AED≌△AFD，

∴S△AED=S△AFD=S△ACD﹣S△CDF=1﹣x，

∴S四边形AEDF=2S△AED=2（1﹣x）=2[1﹣（ ﹣1）]=4﹣ ，

即四边形AEDF的面积为4﹣

【解析】（1）由角平分线的性质直接可得到DE=DF；（2）可证明△AED≌△AFD，可知AE=AF，利用线段垂直平分线的判定可证明AD是EF的垂直平分线，可证得结论；（3）设△CDF的面积为x，则可分别表示出△BED、△ADE的面积，利用三角形的面积可分别表示出DE和DF，根据DE=DF可得到关于x的方程，可求得x的值，进一步可求得四边形AEDF的面积．