Question

【题目】如图，E是正方形ABCD边AB的中点，连接CE，过点B作BH⊥CE于F，交AC于G，交AD于H．下列说法： ；②点F是GB的中点； ； ，其中正确的结论的序号是_____________

Answer 1

【答案】①③④

【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC平分∠HAB，∴ ，故①正确；

假设F是GB的中点，∵CF⊥BG，∴CG=CB，∴CF平分∠BCG．而CE是Rt△ABC的中线，∴CE不能平分∠BCA，矛盾，故F是GB的中点是错误的．故②错误；

易证△HAB≌△EBC，∴HA=EB=AB．过G作GM⊥AB于M．∵∠CAB=45°，∴△AMG是等腰直角三角形，∴AM=MG，AG=MG，∵GM⊥AB，HA⊥AB，∴GM∥HA，∴△GBM∽△HBA，∴．∵AH=AB，∴GM=AB，∴AG=AB．故③正确；

由①③得：GB=2HG，∴BH=3HG，∴S△HAB=3S△AHG．∵△HAB≌△EBC，∴S△HAB=S△EBC=S△ABC，∴S△HAB=S△ABC．故④正确．

故①③④正确．