Question

【题目】如图,矩形ABCD中,O是AC与BD的交点,过O点的直线EF 与AB、CD的延长线分别

交于E、F.

(1)证明:△BOE≌△DOF.

(2)当EF与AC满足什么条件时,四边形AECF是菱形,为什么?

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）EF⊥AC时，四边形AECF为菱形

【解析】试题分析：（1）由矩形的性质：OB=OD，AE∥CF证得△BOE≌△DOF；

（2）若四边形EBFD是菱形，则对角线互相垂直，因而可添加条件：EF⊥AC，当EF⊥AC时，∠EOA=∠FOC=90°．∵AE∥FC，∴∠EAO=∠FCO，矩形对角线的交点为O，∴OA=OC，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴四边形EBFD是菱形．

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD（矩形的对角线互相平分），AE∥CF（矩形的对边平行），∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF，∴△BOE≌△DOF（AAS）．

（2）解：当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．

证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC（矩形的对角线互相平分）．

又∵由（1）△BOE≌△DOF得，OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）

又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．