Question

【题目】已知E，F分别是AB、CD上的动点，P也为一动点．
（1）如图1，若AB∥CD，求证：∠P=∠BEP+∠PFD；
（2）如图2，若∠P=∠PFD﹣∠BEP，求证：AB∥CD；
（3）如图3，AB∥CD，移动E，F使得∠EPF=90°，作∠PEG=∠BEP，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：过P作PQ∥AB，

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

∴∠BEP=∠1，∠2=∠PFD，

∵∠EPF=∠1+∠2，

∴∠EPF=∠BEP+∠PFD

（2）证明：∵∠BGP是△PEG的外角，

∴∠P=∠BGP﹣∠BEP．

∵∠P=∠PGB﹣∠BEP，

∴∠PFD=∠PGB，

∴AB∥CD

（3）解：由（1）的结论∠EPF=∠BEP+∠PFD=90°，

设∠PFD=x，则∠BEP=90°﹣x，

∵∠PEG=∠BEP=90°﹣x，

∴∠AEG=180°﹣2（90°﹣x）=2x，则 = =2

【解析】（1）过P作PQ平行于AB，由AB与CD平行，得到PQ与CD平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，再由∠EPF=∠1+∠2，等量代换就可得证；（2）先根据三角形外角的性质得出∠P=∠BGP﹣∠BEP，再由∠P=∠PGB﹣∠BEP可知，∠PFD=∠PGB，由此可得出结论；（3）由（1）中的结论∠EPF=∠BEP+∠PFD，设设∠PFD=x，则∠BEP=90°﹣x，根据∠PEG=∠BEP=90°﹣x，利用平角定义表示出∠AEG，即可求出所求比值．
【考点精析】关于本题考查的平行线的判定与性质，需要了解由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质才能得出正确答案．