Question

【题目】

如图，四边形ABCD为菱形，点E为对角线AC上的一个动点，连结DE并延长交AB于点F，连结BE．

（1）如图①：求证∠AFD=∠EBC；

（2）如图②，若DE=EC且BE⊥AF，求∠DAB的度数；

（3）若∠DAB=90°且当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）60°；（3）∠EFB=30°或120°．

【解析】

试题分析：（1）直接利用全等三角形的判定方法得出△DCE≌△BCE（SAS），即可得出答案；

（2）利用等腰三角形的性质结合垂直的定义得出∠DAB的度数；

（3）利用正方形的性质结合等腰三角形的性质得出①当F在AB延长线上时，以及②当F在线段AB上时，分别求出即可．

试题解析：（1）∵四边形ABCD为菱形，

∴DC=CB，

在△DCE和△BCE中，

，

∴△DCE≌△BCE（SAS），

∴∠EDC=∠EBC，

∵DC∥AB，

∴∠EDC=∠AFD，

∴∠AFD=∠EBC；

（2）∵DE=EC，

∴∠EDC=∠ECD，

设∠EDC=∠ECD=∠CBE=x°，则∠CBF=2x°，

由BE⊥AF得：2x+x=90°，

解得：x=30°，

∴∠DAB=∠CBF=60°；

（3）分两种情况：

①如图1，当F在AB延长线上时，

∵∠EBF为钝角，

∴只能是BE=BF，设∠BEF=∠BFE=x°，

可通过三角形内角形为180°得：

90+x+x+x=180，

解得：x=30，

∴∠EFB=30°；

②如图2，当F在线段AB上时，

∵∠EFB为钝角，

∴只能是FE=FB，设∠BEF=∠EBF=x°，则有∠AFD=2x°，

可证得：∠AFD=∠FDC=∠CBE，

得x+2x=90，

解得：x=30，

∴∠EFB=120°，

综上：∠EFB=30°或120°．