Question

【题目】阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系．

小明发现，利用轴对称做一个变化，在BC上截取CA′=CA，连接DA′，得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）．

请回答：

（1）在图2中，小明得到的全等三角形是△ ≌△ ；

（2）BC和AC、AD之间的数量关系是 ．

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9．求AB的长．

Answer 1

【答案】（1）ADC；A′DC；（2）BC=AC+AD；（3）21．

【解析】

试题分析：（1）由SAS容易证明△ADC≌△A′DC；

（2）由△ADC≌△A′DC，得出DA′=DA，∠CA′D=∠A=60°，再求出DA′=BA′，得出BA′=AD，即可得出结论；

解决问题：在AB上截取AE=AD，连接CE，先证明△ADC≌△AEC，得出AE=AD=9，CE=CD=10=BC，过点C作CF⊥AB于点F，设EF=BF=x；在Rt△CFB和Rt△CFA中，根据勾股定理求出x，即可得出结果．

试题解析：（1）△ADC≌△A′DC；理由如下：

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠A′CD，

在△ADC和△A′DC中，

，

∴△ADC≌△A′DC（SAS）；

（2）BC=AC+AD；理由如下：

由（1）得：△ADC≌△A′DC，

∴DA′=DA，∠CA′D=∠A=60°，

∵∠ACB=90°，

∴∠B=90°-∠A=30°，

∵∠CA′D=∠B+∠BDA′，∠∠BDA′=30°=∠B，

∴DA′=BA′，

∴BA′=AD，

∴BC=CA′+BA′=AC+AD；

解决问题

如图，在AB上截取AE=AD，连接CE，如图3所示：

∵AC平分∠BAD，

∴∠DAC=∠EAC．

在△AEC和△ADC中，

，

∴△ADC≌△AEC（SAS），

∴AE=AD=9，CE=CD=10=BC，

过点C作CF⊥AB于点F，

∴EF=BF，

设EF=BF=x．

在Rt△CFB中，∠CFB=90°，由勾股定理得CF2=CB2-BF2=102-x2，

在Rt△CFA中，∠CFA=90°，由勾股定理得CF2=AC2-AF2=172-（9+x）2．

∴102-x2=172-（9+x）2，

解得：x=6，

∴AB=AE+EF+FB=9+6+6=21，

∴AB的长为21．