Question

【题目】如图，已知a∥b，长方形ABCD的点A在直线a上，B，C，D三点在平面上移动变化（长方形形状大小始终保持不变），请根据如下条件解答：

（1）图1，若点B、D在直线b上，点C在直线b的下方，∠2=30°，则∠1=；
（2）图2，若点D在直线a的上方，点C在平行直线a，b内，点B在直线b的下方，m，n表示角的度数，请写出m与n的数量关系并说明理由；
（3）图3，若点D在平行直线a，b内，点B，C在直线b的下方，x，y表示角的度数（x＞y），且满足关系式x2﹣2xy+y2=100，求x的度数．

Answer 1

【答案】
（1）60°
（2）解：如图2，过C作EF∥a，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴n=∠4，
∵a∥b，EF∥a，
∴EF∥a∥b，
∴∠4=∠DCE ,∠ECB=m;
∴∠4+m=∠BCD=90°，
∴m+n=90°；
（3）解：如图3，过D作c∥b，

∵x2﹣2xy+y2=100，
∴（x﹣y）2=100，
∵x＞y，
∴x﹣y=﹣10（舍去），
∴x﹣y=10，①
∵a∥b，c∥b，
∴a∥b∥c，
∵∠ADC=90°，
∴x+y=90，②
①+②得：x=50°．
【解析】（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴∠ADC=90°，
∵∠2=30°，
∴∠ADB=60°，
∵a∥b，
∴∠1=∠ADB=60°，
故答案为：60°；
(1）根据矩形的四个角都是直角得出∠ADC=90°，根据角的和差得出∠ADB=60°，根据二直线平行内错角相等得出∠1=∠ADB=60°；
（2）过C作EF∥a，根据矩形的对边互相平行得出AB∥CD，根据二直线平行同位角相等得出n=∠4，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出EF∥a∥b，根据二直线平行，内错角相等得出∠4=∠DCE ,∠ECB=m;根据等式的性质得出结论；
（3）将方程x2﹣2xy+y2=100，利用直接开平方法得出x﹣y=10，①，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出a∥b∥c，根据二直线平行，内错角相等，及等式的性质得出结论。