Question

【题目】在△ABC中，点D在边BA或BA的延长线上，过点D作DE∥BC，交∠ABC的角平分线于点E．

（1）如图1，当点D在边BA上时，点E恰好在边AC上，求证：∠ADE=2∠DEB；

（2）如图2，当点D在BA的延长线上时，请直接写出∠ADE与∠DEB之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）∠ADE+2∠DEB=180°.

【解析】

（1）由角平分线的定义可得出∠ABE=∠CBE，由平行线的性质可得出∠CBE=∠DEB、∠ADE=∠ABC，进而可得出∠ABE=∠DEB，再利用三角形外角的性质即可证出∠ADE=2∠DEB；

（2）由角平分线的定义可得出∠ABC=2∠CBE，利用平行线的性质可得出∠DEB=∠CBE，进而可得出∠ABC=2∠DEB，再利用“两直线平行，同旁内角互补”可证出∠ADE+2∠DEB=180°．

证明：（1）∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE．

∵DE∥BC，

∴∠CBE=∠DEB，∠ADE=∠ABC，

∴∠ABE=∠DEB，

∴∠ADE=∠ABE+∠DEB=2∠DEB．

（2）∠ADE+2∠DEB=180°．

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABC=2∠CBE．

∵DE∥BC，

∴∠DEB=∠CBE，∠ADE+∠ABC=180°，

∴∠ABC=2∠DEB，

∴∠ADE+2∠DEB=180°．