Question

【题目】如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG=45°；②AG+DF=FG；③△DEF∽△ABG；④S△ABG= S△FGH．其中正确的是（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

Answer 1

【答案】C

【解析】试题分析：利用折叠性质得∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，则可得到∠EBG=∠ABC，于是可对①进行判断；在Rt△ABF中利用勾股定理计算出AF=8，则DF=AD﹣AF=2，设AG=x，则GH=x，GF=8﹣x，HF=BF﹣BH=4，利用勾股定理得到x2+42=（8﹣x）2，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可对②进行判断；接着证明△ABF∽△DFE，利用相似比得到，而，所以，所以△DEF与△ABG不相似，于是可对③进行判断；分别计算S△ABG和S△GHF可对④进行判断．

解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，

将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，

∴∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，

∴∠EBG=∠EBF+∠FBG=∠CBF+∠ABF=∠ABC=45°，所以①正确；

在Rt△ABF中，AF==8，

∴DF=AD﹣AF=10﹣8=2，

设AG=x，则GH=x，GF=8﹣x，HF=BF﹣BH=10﹣6=4，

在Rt△GFH中，∵GH2+HF2=GF2，

∴x2+42=（8﹣x）2，解得x=3，

∴GF=5，

∴AG+DF=FG=5，所以②正确；

∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处

∴∠BFE=∠C=90°，

∴∠EFD+∠AFB=90°，

而∠AFB+∠ABF=90°，

∴∠ABF=∠EFD，

∴△ABF∽△DFE，

∴ ，

∴，

而，

∴，

∴△DEF与△ABG不相似；所以③错误．

∵S△ABG=×6×3=9，S△GHF=×3×4=6，

∴S△ABG=1.5S△FGH．所以④正确．

故选C.